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By Goursat E.

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Multilevel Projection Methods for Partial Differential Equations

The multilevel projection procedure is a brand new formalism that gives a framework for the advance of multilevel algorithms in a truly common environment. this system publications the alternatives of all of the significant multilevel procedures, together with rest and coarsening, and it applies on to international or in the community sophisticated discretizations.

An Introduction to Riemann Surfaces

This textbook offers a unified method of compact and noncompact Riemann surfaces from the perspective of the so-called L2 $\bar{\delta}$-method. this system is a strong method from the idea of a number of advanced variables, and gives for a distinct method of the essentially diversified features of compact and noncompact Riemann surfaces.

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Um den Flächeninhalt einer Menge P ⊆ ‫ޒ‬2 zu approximieren, können wir für ein klein gewähltes δ zählen, wie viele δ-Quadrate in der Menge P enthalten sind oder zumindest gemeinsame Punkte mit ihr aufweisen: 1. Der Integralbegriff 27 Definition ( Jordan-Inhalt) Sei P ⊆ ‫ޒ‬2 beschränkt. Dann definieren wir den äußeren Jordan-Inhalt J(P) und den inneren Jordan-Inhalt j(P) durch J(P) = inf δ > 0 (δ2 ⋅ „die Anzahl der δ-Quadrate Q mit Q ∩ P ≠ ∅“), j(P) = sup δ > 0 (δ2 ⋅ „die Anzahl der δ-Quadrate Q mit Q ⊆ P“).

Abschnitt Integration Uneigentliche Integrale Wir können die Definition des Integrals durch Grenzübergänge erweitern, sodass wir auch gewisse Funktionen integrieren können, die unbeschränkte Werte- oder Definitionsbereiche besitzen. Definition (uneigentliche Riemann-Integrale) Sei f : [ a, b [ → ‫ ޒ‬eine Funktion mit − ∞ < a ≤ b ≤ ∞, und für alle c ∈ ] a, b [ sei die Einschränkung f|[ a, c ] der Funktion f auf das Intervall [ a, c ] integrierbar. Dann setzen wir im Fall der Existenz: b c ͐a I(f ) = f = lim c ↑ b ͐ f ∈ [ − ∞, ∞ ].

Die Stetigkeit ist sicher eine solche Eigenschaft, und in der Tat sind alle stetigen Funktionen integrierbar. Zum Beweis verwenden wir entscheidend die gleichmäßige Stetigkeit einer stetigen Funktion auf einem kompakten Intervall. Satz (Integrierbarkeit stetiger Funktionen) Sei f : [ a, b ] → ‫ ޒ‬stetig. Dann ist f gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximierbar und also insbesondere integrierbar. Beweis Sei ε > 0. Da f gleichmäßig stetig ist, existiert ein δ > 0 mit: (+) |f(x) − f(y)| < ε für alle x, y ∈ [ a, b ] mit |x − y| ≤ δ.

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