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By Gernot Stroth

Dieses Lehrbuchbietet eine Einfuhrung in die grundlegenden Methoden der Galoistheorie. Am Beispiel der Auflosbarkeit von Polynomgleichungen durch Radikale wird das Zusammenwirken dreier Theorien - Gruppentheorie, Korpertheorie und Ringtheorie - zur Losung dieses difficulties demonstriert. Behandelt werden neben den ublichen Grundbegriffen wie Gruppen, Korper und Ringe sowie den Resultaten der Galoistheorie auch Anwendungen auf Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, endliche Korper und Kreisteilungskorper sowieAuflosungsformeln der Gleichungen vom Grad hochstens four. Daruber hinaus wird der konkreten Berechenbarkeit und den Algorithmen zur Bestimmung irreduzibler Teiler von Polynomen bzw. der Galoisgruppe eines moderaten Polynoms ein breiter Raum gewidmet.

Die vorliegende zweite Auflage enthalt Erweiterungen zu den Themen rein inseparable Korpererweiterungen, p-adische Zahlen und Bewertungstheorie, angeordnete Korper undSatz von Sturm.

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Diese Verbindung wollen wir nun herstellen. 34. Seien R ein kommutativer Ring und a ∈ R. Die Abbildung n n ai x i → τa : f = i=0 ai ai i=0 von R[x] nach R nennen wir den Einsetzungshomomorphismus und schreiben für τa (f ) auch f (a). Man rechnet leicht nach, dass τa in der Tat ein Homomorphismus ist. Damit können wir nun auch den Begriff der Nullstelle definieren. 35. Seien R ein kommutativer Ring und f ∈ R[x]. Ein Element a ∈ R heißt Nullstelle von f , falls f (a) = 0 ist. Wir wollen die ZPE-Eigenschaft von R[x] untersuchen.

Weiter ist offenbar K = k(u). Seien u1 und u2 zwei Nullstellen von q, K1 = k(u1 ) und K2 = k(u2 ). Sei σ die Identität auf k. 11 gibt es dann eine Fortsetzung τ von σ mit τ : K1 → K2 . Also sind K1 und K2 k-isomorph. Da q irreduzibel ist, ist q = amu für ein geeignetes a ∈ k. 3 ist [K : k] = grad q. Der eben bewiesene Satz erlaubt es uns, einen Körper zu konstruieren, in dem q ei√ ne Nullstelle hat. Betrachten wir z. B. das Polynom q = x 2 − 2 über Q. Dann ist Q( 2) √ der eindeutig bestimmte Körper, in dem q eine Nullstelle hat.

Dann ist 3 = 2b2 . Ist b = q in gekürzter Form, so folgt 2p2 = 3q2 , was mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung in Z einen Widerspruch ergibt. Also ist √ a ≠ 0. Nun folgt aber 3 ∈ Q, ein Widerspruch. Somit haben wir √ √ [Q( 2)( 3) : Q( 2)] = 2. 5 folgt nun √ √ √ √ [Q( 2, 3) : Q] = [Q( 2)( 3) : Q( 2)][Q( 2) : Q] = 4. √ √ Wir wollen zeigen, dass die Erweiterung Q ⊆ Q( 2, 3) einfach ist. Körpererweiterungen 39 √ √ √ √ Es ist Q( 2 + 3) ⊆ Q( 2, 3). Weiter ist √ ( 2 + 3)2 = 5 + 2 6. √ √ √ Das liefert 6 ∈ Q( 2 + 3).

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