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By Prof. Dr. Konrad Königsberger (auth.)

Dieses nunmehr in four. Auflage erscheinende Lehrbuch präsentiert in bereits bewährter Weise den Kanon der research einer Veränderlichen. Auf vielfachen Wunsch hin wurden für die neue Auflage zu rund 250 Übungsaufgaben auch Lösungen ausgearbeitet und in einem Anhang beigefügt. Durch die Verbindung von Lehrtext, zahlreichen Beispielen und umfangreichem Übungsmaterial eignet sich diese Darstellung vorzüglich als begleitende Literatur zu einer Vorlesung, zum Selbststudium, sowie zur Prüfungsvorbereitung für Studenten der Mathematik, Physik, Informatik und der Wirtschaftswissenschaften. Die zahlreichen historischen Anmerkungen und die eingestreuten Perlen der klassischen research geben diesem Lehrbuch seinen besonderen Reiz.

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5 Folgen Mit diesem Kapitel beginnen wir die Diskussion von Grenzprozessen. Diese gehoren zu den wichtigsten Prinzipien der Mathematik und bilden ein konstituierendes Element der Analysis. Grenzprozesse wurden erstmals von den Griechen zur Berechnung von FUichen durchgefuhrt. 1 Konvergenz von Folgen Unter einer Falge kamplexer Zahlen, kurz Falge in C, versteht man eine Funktion f : IN -+ emit der Menge der natiirlichen Zahlen als Definitionsbereich. 1st f(n) = an, so schreibt man fur f meistens Definition: Eine Folge (an) heiEt kanvergent, wenn es eine Zahl a E C mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem c > 0 existiert ein N E lR so, daiS (1) Ian - al < c fur alle n > N.

5 Aufgabe 2. 4 erkliirt werden. 2 Polynome Polynome stellen wichtige Funktionen der Analysis dar. Sie werden zur Approximation und Interpolation verwendet und sind der Ausgangspunkt der Theorie der Potenzreihen. Fiir die Analysis ist ein Polynom eine Funktion, die in der Gestalt (2) dargestellt werden kann, wobei die Koeffizienten ao, ... , an komplexe Zahlen sind. 1st an # 0, so heif&en n der Grad des Polynoms und an sein Leitkoeffizient. Sind alle ak Null, so heif&t 1 das Nullpolynom, in Zeichen 1 = O.

G(x) durch (Rel)(x):= Ref(x), (1m I) (x) := Iml(x). 30 4 Funktionen Zusammensetzung von Funktionen. Der Wertebereich der Funktion f : X ~ C sei enthalten im Definitionsbereich einer weiteren Funktion 9 : Y ~ C. Diese Situation kennzeichnet man oft durch das Diagramm X-LY-4C. Die zusammengesetzte Funktion 9 a f : X ~ C ist dann definiert durch (g a f)(x) := g(J(x)). Beispiel: Zerlegung einer gebrochen-linearen Transformation T(z) = az+b, ez+d mit e -10 und D:= ad - be f= 0 (a,b,e,d E C). Es gilt a D 1 T(z) = ~ - ~.

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