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By Oliver Deiser

Speziell für Lehramtsstudierende der Mathematik an Gymnasien Verständliche Darstellung bei systematischem Aufbau und vollständigen Beweisen
Ergänzungssektionen zur Vernetzung von Schulwissen und universitären Themen
Auch als Begleittext für Lehramtsstudierende geeignet, die eine Fachvorlesung besuchen​

Die bis zur Differentiation in einer Variablen reichende Darstellung des ersten Bandes wird in diesem Buch um eine ausführliche Behandlung der Integration, topologischer Grundbegriffe und der mehrdimensionalen Differentiation erweitert. Zudem werden Fourier-Reihen, gewöhnliche Differentialgleichungen und die mehrdimensionale Integration im Überblick vorgestellt. Zahlreiche Aufgaben, Ergänzungen und Ausblicke festigen und vertiefen das Wissen und regen eigenständige Erkundungen der vielfältigen Gebiete der research an.

Das zweibändige Werk wendet sich speziell an Studenten des Lehramts Mathematik an Gymnasien sowie an Lehrer. Selbstverständlich ist es auch für Fachstudenten geeignet.

Content point » reduce undergraduate

Stichwörter » research - Differentialrechnung - Infinitesimalrechnung - Lehramt - Reelle Analysis

Verwandte Fachbereiche » Mathematik

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Um den Flächeninhalt einer Menge P ⊆ ‫ޒ‬2 zu approximieren, können wir für ein klein gewähltes δ zählen, wie viele δ-Quadrate in der Menge P enthalten sind oder zumindest gemeinsame Punkte mit ihr aufweisen: 1. Der Integralbegriff 27 Definition ( Jordan-Inhalt) Sei P ⊆ ‫ޒ‬2 beschränkt. Dann definieren wir den äußeren Jordan-Inhalt J(P) und den inneren Jordan-Inhalt j(P) durch J(P) = inf δ > 0 (δ2 ⋅ „die Anzahl der δ-Quadrate Q mit Q ∩ P ≠ ∅“), j(P) = sup δ > 0 (δ2 ⋅ „die Anzahl der δ-Quadrate Q mit Q ⊆ P“).

Abschnitt Integration Uneigentliche Integrale Wir können die Definition des Integrals durch Grenzübergänge erweitern, sodass wir auch gewisse Funktionen integrieren können, die unbeschränkte Werte- oder Definitionsbereiche besitzen. Definition (uneigentliche Riemann-Integrale) Sei f : [ a, b [ → ‫ ޒ‬eine Funktion mit − ∞ < a ≤ b ≤ ∞, und für alle c ∈ ] a, b [ sei die Einschränkung f|[ a, c ] der Funktion f auf das Intervall [ a, c ] integrierbar. Dann setzen wir im Fall der Existenz: b c ͐a I(f ) = f = lim c ↑ b ͐ f ∈ [ − ∞, ∞ ].

Die Stetigkeit ist sicher eine solche Eigenschaft, und in der Tat sind alle stetigen Funktionen integrierbar. Zum Beweis verwenden wir entscheidend die gleichmäßige Stetigkeit einer stetigen Funktion auf einem kompakten Intervall. Satz (Integrierbarkeit stetiger Funktionen) Sei f : [ a, b ] → ‫ ޒ‬stetig. Dann ist f gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximierbar und also insbesondere integrierbar. Beweis Sei ε > 0. Da f gleichmäßig stetig ist, existiert ein δ > 0 mit: (+) |f(x) − f(y)| < ε für alle x, y ∈ [ a, b ] mit |x − y| ≤ δ.

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